Bert-Jaap Koops homepage - publications
Lessen
Les 1
Les 2
Les 3
Les 4
Ik doe dit vanuit de ervaring dat (zelfs) VWO-leerlingen niet uit zichzelf enthousiast te rijgen zijn voor "moeilijker" dichters als Achterberg, als ze al geneigd zijn poëzie te lezen. Ikzelf vond het op de middelbare school erg leuk om puzzelend en interpreterend met gedichten bezig te zijn, maar i was één van de weinigen. Aangezien er veel plezier te beleven valt aan poëzie, acht ik het belangrijk dat een potentieel lezerspubliek als VWO-leerlingen gestimuleerd worden met gedichten bezig te zijn. Ik schrijf "bezig zijn", omdat ("literaire") poëzie meestal meer van de lezer vergt dan alleen lezen.
Om een gedicht te kunnen waarderen is een zeker begrip nodig van wat er in het gedicht staat (of van wat je erin kunt lezen). Voor dat begrip is meestal denkwerk vereist. Ik denk dat hier de hindernis ligt die velen belet om aan poëzie te beginnen. Mijn idee is dat als leerlingen "gedwongen" worden om op een creatieve manier met poëzie bezig te zijn, ze kunnen gaan inzien dat de intellectuele inspanning die vereist is voor "moeilijke" poëzie ruimschoots gecompenseerd kan worden door esthetische voldoening.
Ik heb juist Achterberg gekozen omdat ik zijn gedichten veelal als "puzzels" ervaren heb: als je de geheimtaal hebt "opgelost" weet je wat het gedicht bedoelt en kun je het inpassen in het centrale thema waar al zijn poëzie om draait. In feite is elk gedicht een herformulering van één grondstructuur, en dat maakt dat zijn gedichten zo goed als "sommen" te lezen zijn. Ik hoop dan ook door deze lessen bij in elk geval een aantal leerlingen een zelfde enthousiasme op te roepen als ik zelf heb voor deze "puzzel"kant van Achterberg.
Tenslotte heb ik gekozen voor enkele wiskundige gedichten van Achterberg omdat die waarschijnlijk bij uitstek vervreemdend en "te moeilijk" overkomen. Door het inzichtelijk maken van de wiskundige begrippen die hierin naar voren komen, kunnen ook deze gedichten tenslotte als poëzie ervaren worden (ik ga er voor het gemak steeds van uit dat begrip vooraf moet gaan aan esthetische ervaring). Ik hoop dat juist het contrast tussen aanvankelijk koele, intellectuele, "beta"-poëzie en uiteindelijk menselijke, liefdes-, "alfa"-poëzie (die volgens mij onder dat "beta"-oppervlak ligt) een verrassende prikkel kan geven om poëzie in het algemeen met andere ogen te bekijken.
Een nevendoelstelling is hierbij om ook eens met andere ogen te kijken naar wiskunde. Abstracte, saaie, op zichzelf betrokken wiskunde kan ook een esthetische ervaring geven, als je haar maar op en bepaalde manier benadert. Niet alleen dat het oplossen van sommen bevredigend kan weren, maar ook dat sommige wiskundige ideeën in se "mooi" kunnen zijn; dat vind ik één van de sterke punten van Achterbergs poëzie: het haalt de poëtische kant van zogenaamd onpoëtische, alledaagse dingen naar boven.
Hogere doelstellingen als leren "communiceren", "formuleren" en "tot een gemeenschappelijk standpunt kunnen komen" spelen natuurlijk ook mee, maar vanzelfsprekend op bescheiden niveau.
Mijn doelstelling is dus uiteindelijk het leren lezen van poëzie. Hierbij heb ik uiteraard niet de
pretentie dit met mijn vijf lessen te bewerkstelligen, maar ik hoop tenminste een aanzet te geven
tot een "open staan voor poëzie". leerlingen zullen dus geen feiten, begrippen of methoden
aanleren (afgezien van enkele wiskundige begrippen), maar zullen (hopelijk) een positiever beeld
van poëzie (zowel als van wiskunde) krijgen. Dit veronderstelt evenwel dat de leerlingen
gemotiveerd met deze serie aan de slag gaan. Een gedwongen mentaliteitsverandering is een
slechte verandering. Aangezien de ervaring leert dat slechts een klein percentage leerlingen in
beginsel enthousiast is voor ("literaire") poëzie, en een evenzeer klein aantal (vrijwel altijd
andere) leerlingen graag met wiskunde bezig is, ligt hier een probleem bij de opzet van de lessen.
Om leerlingen vijf lessen lang bezig te houden met een onderwerp dat zeker niet ieders interesse
heeft, vergt tenminste een stimulerende rol van zowel docent als van leerlingen zelf. In mijn
opzet ga ik er dan ook van uit dat de docent zoveel mogelijk de "achterblijvers" stimuleert en dat
de leerlingen elkaar enthousiast maken. Daarom heb ik gekozen voor een lesvorm waarbij de klas
verdeeld is in groepjes van vijf of zes, waarbinnen men zowel individueel als collectief bezig is.
Discussie staat entraal. Dit vergt weer een bereidheid bij de leerlingen; mijn idee is dat in een
groepje van vijf of zes vaak wel een poëzie-liefhebber ("alfa") alswel een wiskundige ("beta") zit,
die erin geïnteresseerd zijn de mening van de anderen te weten en zo een discussie op gang
kunnen brengen. De belangrijkste taak voor de docent bij deze lessen is dan ook erop toe te zien
dat er daadwerkelijk discussie plaatsvinden in de groepjes.
Voor de leerlingen moet in elk geval duidelijk zijn wat de docent wil van de leerlingen (iets als "aan de slag gaan met poëzie"; cf. Inleiding). Het valt sterk aan te raden deze inleiding aan het eind van de vorige les te geven, waarbij als huiswerk een opstelletje over "Wat vind ik van poëzie" o.i.d. gegeven wordt.
De opzet van de eerste vier lessen is identiek (hetgeen een conditionerend effect kan hebben om andere gedichten ook zo aan te pakken): de leerlingen krijgen de les uitgedeeld en
Het tijdschema is zeer voorlopig; de docent zal moeten toezien op goede maar gedegen voortgang binnen de groepen. Aan te raden valt om de les te houden in blokuren (100 minuten) of om de klassikale gedeelten desnoods achterwege te laten. De docent zal in elk geval tijdstippen moeten aangeven waarop in de groepjes gediscussieerd moet worden. Bij grote klassen kan het raadzaam zijn om een extra docent (bijv. een wiskundeleraar) in te zetten om de groepjes te begeleiden en waar nodig (bij) te sturen. Veel hangt af van de mate waarin de docent de groepsdiscussies op gang weet te brengen. (Een voorbereidende les "discussietechniek" kan geen kwaad.)
De vijfde les vormt de afsluiting en quasi-toetsing van de serie. Na de vierde les krijgen de leerlingen de opdracht om zelf een gedicht te schrijven aan de hand van een wiskundig begrip over een zelfgekozen, duidelijk omlijnd thema (niet "de liefde", maar "een fatale driehoeks-relatie"). Gedurende het eerste half uur van de les bespreken de groepjes de eigen gedichten; als er genoeg zelfdiscipline heerst kunnen ze dat geheel naar eigen inzicht doen, zo niet dan zal de docent de bespreking moeten sturen (bijv. eerst A, dan B; of bespreek twee-aan-twee je gedichten). De opdracht is om dat gedicht uit te kiezen waarin het beste gelukt is om het wiskundige begrip dienstbaar te maken aan het thema. In het tweede gedeelte van de les schrijft elk groepje haar beste gedicht op het bord en legt uit hoe wiskunde en thematiek geïntegreerd zijn. De andere groepjes mogen aanvallen of aanvullen, vragen stellen of verbeteringen aandragen. Aan het eind wordt er gestemd (maar niet gediscussieerd) over wat de klas het beste gedicht vindt. (Hieraan kan een of andere erkenning verbonden worden.)
Het verloop van deze les (enthousiasme, aantal leerlingen dat actief meedoet, "groepssfeer" enz.)
is toetssteen voor het succes van de serie. Ik denk dat hieraan afgemeten kan worden in hoeverre
de leerlingen enthousiast (geworden) zijn voor gedichten. (De hoeveelheid en soort poëzie op de
literatuurlijsten is ook graadmeter voor de interesse in poëzie.)
Deze opzet is analoog aan de leertheoretische fasering in 1)oriëntering, 2)concreet praktisch handelen, 3) verwoorden, 4) verwerken. In feite vindt de oriëntering op het probleemgebied ("poëzie") plaats voorafgaand aan de serie in de inleiding van de docent (en in het opstel); de verwerking vindt gedeeltelijk plaats in les 5. De verdere verwerking wordt overgelaten aan de leerlingen zelf - het zijn tenslotte VWO'ers. Na vier lessen moet de leerling genoeg ervaring hebben om inductief te kunnen beslissen of ze al dan niet op deze manier met poëzie bezig wil zijn.
Bij de keuze van de gedichten ben ik uitgegaan van alledaags ('Punt'), via mathematisch ('0,1' [noot: er hoort een schuine streep door de 1: de breuk heet nul komma één repetent], '13') naar kryptisch ('4e Dimensie IV'), met het idee dat als men iets aan kan met dit laatste gedicht -één van de onduidelijkste gedichten van een onduidelijk dichter- men in principe de hele poëziewereld aan kan. Les 5 poogt een stimulans te zijn om creatief te zijn, waarbij men de (aangeleerde?) methode uit de eerdere lessen kan toepassen op andere gedichten. Het competitieve element zal een stimulans zijn om er ook echt mee bezig te zijn (hoop ik). De overgang van Achterberg naar klasgenoten zal aanpassingsvermogen vergen -een vereiste voor het lezen van poëzie. Misschien dat sommigen hierdoor gaan inzien dat je verschillende gedichten op verschillende manieren moet benaderen: vanuit het gedicht en niet (alleen) vanuit jezelf. Dat zou een groot winstpunt zijn.
Variatie is een belangrijk goed in het lessenaanbod op school, en wat dat betreft heeft dit pakket in elk geval veel te bieden in zijn combinatie van "typisch alfa" met "typisch beta" (hetwelk onderscheidend vooroordeel hiermee tevens ontkracht kan worden). Hopelijk tonen deze lessen dat de analyse van poëzie en de poëzie van analyse niet zo heel ver uit elkaar liggen.
PUNT
Het raam is dood aan deze kant.
Het heeft geen andere kant.
De wereld werd een wand,
waartegen ik beweeg,
een vlieg, een dunne veeg.
De muren komen op mij toe;
de zolder en de vloer:
plat parallelopipedum,
vertrapt lucifersdoosje en
de put van Edgar Allan Poe.
Gij nam dimensie met u mee
uit mijn bestaan. Ik ben alleen
2) Waar denk je dat het gedicht over gaat? Schrijf in vijf regels op wat volgens jou dit gedicht zegt.
[discussieer in je groep]
3) Wat is een parallelopipedum?
4) In het verhaal The Pit and the Pendulum van Edgar Allan Poe komt een put voor, waarvan de wanden langzaam naar elkaar toe trekken, zodat de persoon die erin is gevallen platgedrukt dreigt te worden.
5) Wat zegt de laatste strofe (r.11-14)? Denk na hoeveel dimensies een mens heeft en hoeveel een punt er heeft. Breng dit in verband met de tweede strofe (r.6-10).
6) Lees nu nogmaals het gedicht als geheel. Formuleer nu weer voor jezelf waar het gedicht over gaat.
[discussieer in je groep]
7) Gerrit Achterberg dicht eigenlijk steeds hetzelfde gedicht. Al zijn gedichten hebben hetzelfde thema: een 'ik' die op zoek is naar een 'u' (of 'gij') en probeert deze persoon, die je meestal kunt zien als een gestorven geliefde, te bereiken door middel van het gedicht. Je kunt de structuur van zijn gedichten dan ook bijna altijd herleiden tot ik-schrijf-u. Door het gedicht nadert de ik de u, soms bereikt hij die en dan vindt voor de duur van het gedicht een hereniging plaats. Een andere kant van deze thematiek is dat de (gestorven) gij alleen nog maar kan bestaan door het zoeken en het dichten van de ik.
8) Lees tenslotte het gedicht nog een keer. Hoe komt de thematiek van Achterberg in dit gedicht naar voren?
9) Schrijf in (maximaal) tien regels op hoe Achterberg het wiskundige begrip 'dimensie' gebruikt om zijn thema vorm te geven.
10) Vat met je groep in tien regels samen wat er volgens jullie gebeurt in dit gedicht. Vergelijk dit vervolgens met je eerste (vraag 2) en je tweede interpretatie (vraag 6). Heb je nu een duidelijker beeld van het gedicht? Denk je dat je "het nu snapt"?
0,1
Gij repeteert u als een breuk,
die niet kan komen tot de som
waartoe hij strekt, gij onderbreekt
uzelf in elk bereikte, om-
dat doodgaan nooit geheel geschiedt
tegenover het niet.
2) Waar denk je dat het gedicht over gaat? Schrijf in vijf regels op wat volgens jou dit gedicht zegt.
[discussieer in je groep]
3) Wat is een repeterende breuk? Geef voorbeelden.
4) 0,1 spreek je uit als 'nul komma één repetent' en betekent 0,11111...: een oneindige rij enen
achter de komma. Schrijf dit getal als breuk.
5) Elke repeterende decimale breuk kun je schrijven als breuk! Als je een decimale breuk hebt die eruit ziet als a,bccc..., waarbij a het getal voor de komma is, b het getal achter de komma dat niet repeteert en c het repeterende gedeelte, dan kun je dit schrijven als: (99..9*ab+c)/9..90..0.
Hierbij schrijf je net zoveel negens als c lang is, en net zoveel nullen als b lang is.
Voorbeeld 1: 0,12222...= 0,12 = (9*1+2)/90 = 11/90 (a=0, b=1,c=2, dus 13 één negen in de teller en in de noemer en één nul in de noemer).
Voorbeeld 2: 1,2738383838...= 1,2738 = (99*127+38)/9900 (a=1,b=27,c=38).
Opgave: schrijf 0,384848484... als breuk. Controleer met je zakrekenmachine.
Opgave: schrijf 2,4361236123612... als breuk. Controleer met je zakrekenmachine.
Conclusie: Elke decimale breuk die zich op den duur repeteert, kan geschreven worden als een breuk en is dus een rationaal getal ( Q).
6) (Extra) Kan wortel-2 geschreven worden als breuk?
Aanwijzing: Stel wortel-2 = p/q (p,q N), waarbij je ervan uit kunt gaan dat de breuk zo ver mogelijk vereenvoudigd is. Probeer uit deze aanname iets af te leiden wat in strijd is met deze aanname. Aanwijzing: kwadrateer beide leden van de vergelijking. Is p even of oneven? En q?
7) Nu is 0,1 gelijk aan 1/9. Hoeveel enen je echter ook achter de komma schrijft, het zal nooit
precies gelijk zijn aan 1/9, omdat je daarvoor oneindig veel enen zou moeten schrijven. Hoe meer
enen je achter de komma zet, hoe dichter je bij 1/9 komt; maar je komt er nooit helemaal. Breng
dit in verband met het gedicht.
8) Hoe vind je nu de thematiek van Achterberg terug in deze "som"? Wat denk je dat 'omdat doodgaan nooit geheel geschiedt/ tegenover het niet' betekent?
9) Schrijf in (maximaal) tien regels op hoe Achterberg het wiskundige begrip 'repeterende breuk' gebruikt om zijn thema vorm te geven.
10) Vat met je groep in tien regels samen wat er volgens jullie gebeurt in dit gedicht. Vergelijk dit vervolgens met je eerste interpretatie (vraag 2). Heb je nu een duidelijker beeld van het gedicht? Denk je dat je "het nu snapt"?
13
Ontdaan van aanvang en vergaan,
moet gij mij tegenwoordig zijn;
val ik tesamen met uw lijn:
wij hebben twee punten gemeen:
geboorte en kennismaking.
Bij de derde aanraking,
die in het lichaam zich voltrok,
lig ik met u in hetzelfde vlak.
De vierde keer dat ik u vind
is bij mijn dood, dan zijn wij in 't
kubiek bijeen en nergens is
de een den ander een gemis.
2) Waar denk je dat het gedicht over gaat? Schrijf in vijf regels op wat volgens jou dit gedicht
zegt.
[discussieer in je groep]
3) Hoeveel lijnen gaan er door twee punten?
Hoeveel vlakken gaan er door drie punten
a) die op één lijn liggen
b) die niet op één lijn liggen? Teken!
Wat zou de volgende vraag in dit rijtje zijn?
4) Teken het gedicht. Wees creatief: hoe zie jij het gedicht voor je? Vergelijk de tekeningen in je groep en leg ze uit.
5) Wat betekent de titel van het gedicht?
6) Schrijf in (maximaal) tien regels op hoe Achterberg het meetkundige ruimtebegrip gebruikt om zijn thema vorm te geven.
7) Vat met je groep in tien regels samen wat er volgens jullie gebeurt in dit gedicht. Vergelijk dit vervolgens met je eerste interpretatie (vraag 2). Heb je nu een duidelijker beeld van het gedicht?
8) Heb je nu een bevredigende interpretatie van het gedicht? Zo nee, waar zit je dan nog mee? Probeer dit in de groep te bespreken.
4E DIMENSIE
IV
Ik houd u dicht van binnen.
Gingend in mij beginnen,
nu er geen uitweg is,
deel tegen overdeel
elkander te doordringen
met evenveel ontvangen
en evenmin gemis.
2) Waar denk je dat het gedicht over gaat? Schrijf in vijf regels op wat volgens jou dit gedicht
zegt.
[discussieer in je groep]
3) Wat is Q? Hoeveel elementen heeft het?
Wat is R? Hoeveel elementen heeft het?
Welke verzameling is groter? Stem in je groep en discussieer als je het er niet mee eens bent.
4) Noem een element uit R dat niet in Q zit.
5) Kun je dat getal wel benaderen met elementen uit Q? Dat wil zeggen, kun je een rij rationale getallen geven die op een willekeurig kleine afstand bij dat irrationele getal in de buurt komen?
Bijvoorbeeld: hoe benader je wortel-2 met elementen uit Q? Aanwijzing: gebruik de decimale ontwikkeling van wortel-2.
6) Elk irrationaal getal kun je zo met zijn decimale ontwikkeling benaderen. We zeggen dan dat de verzameling van de rationale getallen (Q) dicht ligt in de irrationele getallenverzameling (R\Q). De rationale en de irrationele getallen grijpen als het ware zo dicht in elkaar dat ze de gehele getallenlijn opvullen. Probeer dit aanschouwelijk te maken door de getallenlijn te tekenen: je kunt tussen elke twee rationale getallen een irrationaal getal aanwijzen, en tussen elke twee irrationale getallen ligt een rationaal getal.
7) Een verzameling heet aftelbaar als je de elementen ervan "op een rijtje" kunt zetten, zodanig dat alle elementen in die rij voorkomen. Een duidelijk voorbeeld hiervan is N: 1,2,3,4,... Maar ook Z is aftelbaar: 0,1,-1,2,-2,3,-3,... Maar zelfs Q is aftelbaar:
teller
4 4 4/3 4/5
3 3 3/2 3/4 3/5
2 2 2/3 2/5
1 1 ½ 1/3 ¼ 1/5
1 2 3 4 5 noemer
Ga maar na: elke breuk komt zo in deze rij voor!
De vraag is nu of R aftelbaar is: kun je alle getallen op een rij zetten? Stel je voor dat dat zou kunnen, en schrijf dan die getallen onder elkaar in hun decimale ontwikkeling:
0,168419487641...
0,448876173191...
1,878176767753...
Probeer nu een getal te construeren dat niet in deze rij voorkomt. Aanwijzing: gebruik van het
eerste getal het eerste cijfer achter de komma, van het tweede getal het tweede cijfer achter de
komma, van het derde het derde enz.
Er bestaat dus een getal dat niet in zo'n rijtje voorkomt. Dat betekent dat je de elementen van R niet netjes op een rijtje kunt zetten: R is overaftelbaar (er zijn teveel elementen om ze te kunnen tellen).
8) Gebruik nu deze begrippen ('dicht liggen in', 'aftelbaar' en 'overaftelbaar') om het gedicht te interpreteren. Stel je de 'ik' en de 'gij' voor als twee verzamelingen (de rationale en de irrationele) die "deel" en "overdeel" zijn van de getallenlijn.
9) Kun je een betekenis geven aan de titel?
10) Kun je zeggen dat Achterberg de boven uitgelegde wiskundige begrippen daadwerkelijk gebruikt in dit gedicht? Zo ja, hoe gebruikt hij ze dan om zijn thematiek vorm te geven? Zo nee, hoe geef je dan een betekenis aan de eerste en de vierde regel?
11) Vat met je groep in tien regels samen wat er volgens jullie gebeurt in dit gedicht. Vergelijk dit vervolgens met je eerste interpretatie (vraag 2). Heb je nu een duidelijker beeld van het gedicht?
12) Heb je nu een bevredigende interpretatie van het gedicht? Zo nee, waar zit je dan nog mee? Probeer dit in de groep te bespreken.
3) Een parallelopipedum is een (driedimensionaal) zesvlak, waarvan alle kanten bestaan uit parallellogrammen die paarsgewijs gelijk zijn. (Een soort verschoven kubus dus.)
Les 2
3) Een repeterende breuk is een breuk waarvan in de decimale ontwikkeling ("cijfers voor en achter de komma") op een gegeven moment een rij getallen achter de komma zich tot in het oneindige herhaalt. Bijvoorbeeld 0,33333333..., of 29,1864841435784545454545....
4) 0,1 = 1/9
5) a) 0,3848484... = (99*3+84)/990 = 381/990
b) 2,4361236123612... = (9999*240+3612)/999900 = 2403372/999900
6) Stel wortel-2 = p/q (p,q N), waarbij de breuk niet meer vereenvoudigd kan worden. Dan geldt:
wortel-2 = p/q 2 = p²/q² 2*q² = p² (*)
Hieruit volgt dat p² even is. Maar dan moet p zelf even zijn (het kwadraat van een oneven getal is immers oneven (ga na)). Dus is p te schrijven als 2*a (a is de helft van p). Dan is p² gelijk aan 4*a². Dan volgt uit (*): 2*q² = 4*a² q²= 2*a²
Dus is q² even en dus is q zelf ook even.
Maar nu hebben we gevonden dat zowel p als q even zijn, en dus dat je beide kunt delen door 2. Dit is echter in strijdt met de aanname dat de breuk p/q niet verder vereenvoudigd kan worden.
Conclusie: Uit de aanname dat je wortel-2 kunt schrijven als breuk volgt een tegenspraak. Dat betekent dat de aanname fout is, oftewel dat wortel-2 niet als breuk te schrijven is. wortel-2 is dus een irrationaal getal.
(We noemen deze bewijsmethode "bewijzen uit het ongerijmde".)
Les 3
3) Door twee punten gaat precies één lijn. Door drie punten die op één lijn liggen gaan oneindig veel vlakken; door drie punten die niet op één lijn liggen gaat precies één vlak.
Hoeveel ruimten gaan er door vier punten
a) die in één vlak liggen?
b) die niet in één vlak liggen?
Antwoord: a) oneindig veel ruimten!
b) precies één ruimte (de gewone driedimensionale).
Les 4
3) Q is de verzameling rationale getallen en heeft oneindig veel elementen. R is de verzameling reële getallen en heeft ook oneindig veel elementen. R is "groter", want alle rationale getallen zitten wel in R, maar lang niet alle reële getallen zitten in Q; oftewel: Q is een kleinere deelverzameling van R.
4) Bijvoorbeeld wortel-2, pi, e.
5) Je kunt wortel-2 benaderen met de rij rationale getallen: 0, 0,1, 0,14, 0,141, 0,1412, 0,14121, 0,141213 enzovoorts.
7) Construeer als volgt een getal: neem van het eerste getal het eerste cijfer achter de komma en tel daar één bij op (een 9 wordt een 0): dit is het eerste getal achter de komma. Voor het tweede getal achter de komma neem je het tweede getal achter de komma van het tweede getal en daar tel je 1 bij op. Voor het n-de getal achter de komma neem je het n-de getal achter de komma van het n-de getal uit de rij en daar tel je 1 bij op. Zo krijg je een getal dat niet in het rijtje kan staan, omdat hij immers van elk getal in dat rijtje voor minstens een getal achter de komma verschilt. (Dit is heet het "diagonaal-argument", omdat je de diagonaal van de rij getallen gebruik om een nieuw getal te construeren.)
'0,1', ibid., p.538
'13', ibid., p.534
'4e Dimensie IV', p.522
© Bert-Jaap Koops, 1997. All rights reserved.
Last updated on 1 September 1997.
home | help | address | mail | links
research | crypto law survey | publications | amnesty | personal
literature